Uma ajudinha extra

Você gosta de aulas por vídeo? Nesse link do youtube https://www.youtube.com/watch?v=sw18GQESKpA você terá acesso ao primeiro de uma serie de vídeos sobre matrizes e determinantes. Assista aos vídeos e compreenda um pouco melhor esse mundo de matrizes e determinantes.

Para treinar determinante

1) Unicap - PE

Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

Resposta

2) Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.

Resposta

nesse caso possuímos dois valores válidos pra x

Portanto :

Fonte: http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-determinantes.htm#resposta-1076

Propriedades dos determinantes

Nesse link http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes4.php , você encontrará propriedades que facilitam o desenvolvimento do determinante em certos casos. Espero que sejam úteis,

E para matriz de ordem superior a 3?

Para as matrizes de ordem superior a 3 devemos aplicar o Teorema de Laplace até obtermos determinantes de ordem 3 e então usamos a Regra de Sarrus.

Regra de Sarrus

Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3 existe um método que veremos agora. É a REGRA DE SARRUS. O matemático Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861), nascido em Saint-Affrique foi o criador dessa regra.

Vamos ver na pratica como funciona essa regra:

Partindo da matriz 

1º) Para começarmos devemos repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira, assim:

2º) Como será melhor exemplificado abaixo, agora devemos encontrar a soma dos produtos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação das duas diagonais paralelas a essa diagonal, veja:

3º) Agora devemos encontrar a soma dos produtos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação das duas diagonais paralelas a essa diagonal, só que nesse caso a soma deve ser precedida de sinal negativo, isto é, devemos trocar os sinais dos valores que encontrarmos, desta maneira:

Desta forma:

Se aplicarmos Laplace e o resolvermos depois também encontraremos o mesmo resultado.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

Teorema de LAPLACE

O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.



Dica: sempre escolha a linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso facilita e muito os cálculos.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-laplace.htm

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ij tal que  A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .

   Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php

MENOR COMPLEMENTAR

O menor complementar é um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij.

Olhe o seguinte exemplo:

Para calcularmos essa matriz  e determinarmos o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), primeiro retiramos a linha 1 e a coluna 1

E se ao invés de uma matriz quadrada de ordem 2 tivéssemos uma de ordem 3?

Procederíamos da mesma forma veja:

Matriz com a qual trabalharemos é 

Para  

Fonte:http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes2.php

Então como calculamos o determinante de uma matriz?

Vamos começar pela matriz quadrada de 1ª ordem, nesse caso temos M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁: det M =Ia₁₁I = a₁₁

Podemos dizer então que numa matriz de 1ª ordem o próprio elemento é o seu determinante.

Atenção: podemos representar o determinante entre duas barras verticais, que no caso nada tem a ver com módulo, isto é, se o número é negativo, ele permanecerá negativo.

Agora vejamos para uma matriz de 2ª ordem:

tendo a matriz  o seu determinante é  

Nesse caso, temos que o determinante é o resultado da diferença do produto da diagonal principal pelo produto da diagonal secundaria.

Vamos entender melhor analisando o seguinte exemplo:

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php

Utilidade prática do Determinante

Determinante nos é muito útil
- na resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
-no cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php

DETERMINANTES

O que é determinante?
Determinante é um número relacionado a uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de uma matziz A, é representado por det A, é o número obtido quando se opera com os elementos dessa matriz

Mais alguns exercícios, desafio para treinar

1) (PUC-GO) Analise a afirmação seguinte: Se A é uma matriz quadrada, então A + A^T é uma matriz simétrica e A – A^T é uma matriz antissimétrica.

Resposta

Afirmação verdadeira


2) Resolva a equação 2X^t – 3A = B, se A =  e B = 

Resposta

3)

Resposta 
Como já vimos anteriormente, a multiplicação de uma matriz pela sua inversa deverá nos dar uma matriz identidade, portanto

a Matriz B é inversa da Matriz A.

4) UFSC

Sejam A=(a_ij )_4x3 e  B=(b_ij )_3x4 duas matrizes definidas por a_ij=i+j   e b_ij=2i+j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c₃₂ da matriz C?

Resposta

O elemento requerido é o da terceira linha e da segunda coluna, que é resultado de uma multiplicação de duas matrizes. Sabemos pela propriedade de multiplicação que este elemento é proveniente da multiplicação da terceira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B. Portanto, precisamos escrever apenas estes elementos.


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Alguns exercícios de matriz com resposta

1) Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B.


Resposta




2) Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:

Resposta

 

3) Considerando as matrizes:

Determine:
a) A + B – C
b) A – B – C

Resposta



4) Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.

Resposta

x + x = 10
2x = 10
x = 5

y + 3 = – 1
y = – 1 – 3
y = – 4

3 + t = 4
t = 4 – 3
t = 1

2z + z = 18
3z = 18
z = 18/3
z = 6

Fonte: http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-adicao-subtracao-matrizes.htm#resposta-373

Matriz inversa

Matriz inversa é a matriz que quando multiplicada pela matriz A deve obter como resultado uma matriz identidade. Note que para que essa afirmação seja valida a propriedade comutativa deve ser verdadeira nesse caso.

Operações com matrizes: Multiplicação de matrizes

Multiplicação de matrizes é a mais complexa das operações com matrizes.
Nela não podemos apenas multiplicar os elementos respectivos, da mesma maneira que somamos ou subtraímos.
Desta maneira, o produto entre as matrizes A = ( a_ij) _{m x p}  e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Aqui está um exemplo pra melhor ilustrar. Vamos multiplicar a matriz 
para podermos entender como obtermos cada c_ij.

• 1ª linha e 1ª coluna

   

• 1ª linha e 2ª coluna

   

• 2ª linha e 1ª coluna

   

• 2ª linha e 2ª coluna

   

   Assim, .

   Observe que:

 

   Portanto, A.B é diferente de B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes :

   

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

• Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
• Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
• Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}

Propriedades:

Associativa: (A.B).C = A.B.C

Distributiva: (A+B).C = A.C+B.C e A . ( B + C ) = A . B + A . C 

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes4.php , dia 06/03/2014 ás 18:04