Operações com matrizes: Multiplicação de matrizes

Multiplicação de matrizes é a mais complexa das operações com matrizes.
Nela não podemos apenas multiplicar os elementos respectivos, da mesma maneira que somamos ou subtraímos.
Desta maneira, o produto entre as matrizes A = ( a_ij) _{m x p}  e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Aqui está um exemplo pra melhor ilustrar. Vamos multiplicar a matriz 
para podermos entender como obtermos cada c_ij.

• 1ª linha e 1ª coluna

   

• 1ª linha e 2ª coluna

   

• 2ª linha e 1ª coluna

   

• 2ª linha e 2ª coluna

   

   Assim, .

   Observe que:

 

   Portanto, A.B é diferente de B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes :

   

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

• Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
• Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
• Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}

Propriedades:

Associativa: (A.B).C = A.B.C

Distributiva: (A+B).C = A.C+B.C e A . ( B + C ) = A . B + A . C 

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes4.php , dia 06/03/2014 ás 18:04

Operações com matrizes: Multiplicação de um número real por uma matriz

O produto de um número real por uma matriz é obtido pela multiplicação de cada elemento desta matriz pelo número real dado.
exemplo:

Fonte: Matemática aula por aula: volume único: ensino médio/Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier Barreto. – São Paulo: FTD, 2000.

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes3.php

Operações com matrizes: Subtração

A subtração, ou diferença, entre duas matrizes A e B de mesma ordem nada mais é do que a soma da matriz A com a oposta de B.
exemplo:


Fonte: Matemática aula por aula: volume único: ensino médio/Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier Barreto. – São Paulo: FTD, 2000.
http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes3.php

Operações com matrizes: Propriedades da adição

Comutativa: A+B=B+A
nesse caso a soma da matriz A mais a matriz B, deverá ser igual se realizarmos a soma da matriz B com a matriz A.

Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
nessa propriedade temos que observar que pra ela ser verdadeira, quando somamos a matriz B com C e depois adicionamos a soma a matriz A, ela terá que ser igual quando realizarmos primeiro a soma de A com B e só depois acrescentarmos C.

Elemento Simétrico ou Elemento Oposto:  A+(-A) = 0
aqui temos que a soma da matriz A com a matriz -A, que como já vimos anteriormente é chamada de oposta de A, dará, afinal ambas possuíram os mesmo números com sinais inversos, o que nos resultará numa resposta igual a 0.

Elemento Neutro: A+0 = A
como estamos trabalhando com a soma, 0 aqui também assume o papel de elemento neutro, o que podemos dizer de maneira simples que um matriz A somada a 0 dará a própria matriz original.

Operações com matrizes: ADIÇÃO

A soma de duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem é uma matriz, de mesma ordem que aquelas que foram somadas, obtendo-a com a adição do elementos de mesma posição das matrizes A e B.
exemplo: 

Em resumo A+B = [a_ij+b_ij]_{m x n}

Fonte: Matemática aula por aula: volume único: ensino médio/Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier Barreto. – São Paulo: FTD, 2000.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais, se e somente, todos os elementos que ocupam a mesma posição forem iguais.
Exemplo:
As matrizes A=[49√32−2] e B=[3+1391−3] são iguais.

Mais alguns tipos de matrizes

 Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

    Veja:

Observe a matriz a seguir:

Matriz diagonal: é uma matriz quadrada em que os elementos que não estão na diagonal principal são nulos, ou seja, são zeros.
Exemplo:


Matriz Identidade

Uma matriz identidade é uma matriz quadrada onde na sua diagonal principal os elementos tem valor 1 e os demais possuem valor zero.
Exemplo: I_n, onde n representa a ordem da matriz identidade.
matriz identidade de terceira ordem.

Portanto podemos defini-la da seguinte forma:


Matriz transposta:
Se uma matriz A é de ordem mxn uma matriz transposta, representada por A^t é uma matriz do tipo nxm, ou seja trocamos ordenadamente a linha pela coluna, e vice e versa.
Exemplo:

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

Matriz simétrica: matriz quadrada onde A = A^t .

Exemplo: 
se olharmos com atenção iremos perceber que a 1ª linha é igual a 1ª coluna, e assim por diante.

Matriz oposta: é a matriz -A, onde trocamos todos os sinais de A para obtê-la.
Exemplo:



Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php dia 02/03/2014 as 12:31